% Первый набросок лекции №8

Мы рассматриваем непрерывную систему с постоянными коэффициентами без свободного члена:

% Тут если нужно - вставить ещё раз систему.
% Вступление - будем формализовывать результат предыдущей лекции.

\begin{theorem}[(о декомпозиции состояния)]
Существует замена
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
    \exists T \in \real ^{n \times n};  y = Tx \\
	y = (y^1; y^2)^T, y^1 \in \real ^k, y^2 \in \real ^{n-k}, \text{где} \\
	k = \rg [B|AB| \ldots |A^{n-1}B],
\end{array}
\end{equation*}

обладающая свойством:
\begin{multline}
	\dot{y} = T \dot{x} = TAT^{-1} y + TBu \\
	TAT^{-1} =  \\ %Тут матрица блочная TB = %И тут матрица блочная	
\end{multline}

То есть, систему можно записать в виде
%% Тут делается нормальная СЛАУ
\begin{multline}
	\dot{y}^1 = A_{11} y^1 + A_{12} y^2 + B_1 u \\ % Полностью управляемая часть
	\dot{y}^2 = A_{22} y^2 % Управление вообще отсутствует
\end{multline}
\end{theorem}

%%%%%%%%%%%%
\section{О декомпозиции состояния нелинейной системы (отступление)}
Рассмотрим более общую систему, линейную по управлению.
\begin{equation*}
	\dot{x}(t) = f(x(t)) + g_1 (x(t))u_1 + \ldots + g_m (x(t))u_m
\end{equation*}

В линейном случае
\begin{gather*}
	f(x) = Ax	\\
	g_j(x) = B^j % Это столбец!
\end{gather*}

\begin{df}
	Будем называть {\it скобкой Ли} двух векторных полей следующее ?поле?:
	\begin{equation*}
		[f_1(\cdot), f_2(\cdot)] = \frac {\partial f_1}{\partial x} f_2 - 
								   \frac {\partial f_2}{\partial x} f_1. 
	\end{equation*}
	Если $[f_1, f_2] = 0$, то говорят, что поля $f_1$ и $f_2$ коммутируют.

\end{df}

В линейном случае
\begin{gather*}
	[f, g_j] = AB_j \\
	[f, [f, g_j]] = A_2 B_j
\end{gather*}
и коммутируемость полей равносильна коммутируемости (перестановочности) матриц.

Прикладной смысл скобки Ли:
% Про графичек с последовательным применением и разность путей / эпсилон при стремлении к нулю

% Про возможность сдвинуться туда, сюда и смысл - определение ещё движений. Так, на машине можно парковаться (двигаться вбок) путем повторения чередующихся шагов различных управлений (вперёд-назад) и поворота.

%%%%%%%%%%%%
\section{Доказательство теоремы о декомпозиции состояний для случая постоянных коэффициентов}
Рассмотрим пространство $L = \Im (B|AB| \ldots A^{n-1}B)$. Докажем

\begin{lemma}
	L инвариантно относительно нашей линейной системы с постоянными коэффициентами ?Ссылка?
\end{lemma}
\begin{proof}
	Пусть $x^0 \in L$. Это верно, если $x^0$ имеет вид
	\begin{equation}
		x^0 = B v^0 + AB v^1 + \ldots + A^{n-1} B v^{n-1} \label{elemL}
	\end{equation}

	Выпишем формулу Коши и разложим матричную экспоненту в ряд.
	%Тут формула коши + разложение в ряд
	
	Из теоремы Гамильтона--Кэли следует, что любую степень матрицы можно представить в виде линейной комбинации
	%Тут линейная комбинация для A^k
	
	Подставим, соберём коэффициенты и получим, что $x(t)$ также представим в виде \eqref{elemL}, следовательно $x(t) \in L$, что и означает инвариантность L относительно нашей системы.
\end{proof}




%%%%%%%%%%%%
\section{Достаточное условие управляемости для непрерывных систем с переменными коэффициентами}
Важное отличие непрерывных систем с переменными коэффициентами от непрерывных с постоянными коэффициентами и рассмотренных дискретных в том, что в этом случае управляемость может зависеть от рассматриваемого промежутка времени. В то время, как в случае постоянных коэффициентов или дискретном, если система управляема на некотором промежутке, то она управляема и на любом меньшем. Только берите управление побольше.

Рассмотрим однородную систему с переменными коэффициентами
%Тут система + ограничение на гладкость A и B

Обозначим
%Наверное, тут не гадер а что-то выравниваемое...
\begin{gather*}
	L_1	= B(t)  \\
	L_k = A(t) L_{k-1}(t) - \frac{d L_{k-1}}{dt}, k = 2, \ldots, n.
\end{gather*}

\begin{theorem}[(достаточное условие управляемости для непр. системы)]
	Если $\exists \bar{t} \in [t_0, t_1]$ такой, что
	\begin{equation*} \rg [L_1(\bar{t})| \ldots | L_n(\bar{t})] = n, \end{equation*}
	то система полностью управляема на $[t_0, t_1]$ (и больших - ??очевидно??).
\end{theorem}
\begin{proof}
	Вспомним наш критерий управляемости. 
	%%% Вот это надо хорошенько связать с 4й и осмыслить...
\end{proof}

\section{Достаточное условие управляемости для непрерывных систем с периодическими коэффициентами}
Мы рассматриваем ту же систему
% система,
но уже когда $A(t)$ и $B(t)$ периодические с периодом T.

Потребуем аналитичности $A(t)$ и $B(t)$. %Надо написать определение или сослаться куда-нить...

\begin{theorem}[(достаточное условие управляемости для непр. системы с периодич. коэффициентами)]
	Если 
	\begin{equation*} 
		\rg [B(t_0)| X(T,0)B(t_0) | \ldots | X^{n-1} (T,0)B(t_0)] = n, 
	\end{equation*}
	то система полностью управляема на ?любом? промежутке времени.
\end{theorem}
\begin{proof}
	%%%% как тождественное равенство делать??? \equiv
	Предположим противное. Пусть $\exists\ l \neq 0$ т.ч. $l^T X(t_1,\tau)B(\tau) = 0$
	
	Посмотрим на это равенство в точках	$t_0, t_0 - T, \ldots, t_0 - (n-1)T$
\end{proof}